Wiosna - Kosmologia

Wiadomości ogólne
Astronomia pozagalaktyczna dostarcza informacje o indywidualnych obiektach (galaktykach, gromadach galaktyk itp.) znajdujących się w dostępnej obserwacjom części Wszechświata. Badania poszczególnych obiektów dają podstawy do uogólnień na temat globalnych własności Wszechświata. Kosmologia jest gałęzią astronomii, która wykorzystując wyniki astronomii pozagalaktycznej, zajmuje się wyznaczaniem ogólnych prawidłowości, rządzących całym Wszechświatem. U podstaw kosmologii tkwi fundamentalne przekonanie, poparte wielką liczbą eksperymentów i obserwacji, że w całym Kosmosie obowiązują jednakowe prawa fizyki. Dzięki temu wnioski uzyskane na podstawie badań ograniczonych obszarów można uogólniać na cały (być może nieskończony) Wszechświat. Podstawowym postulatem koniecznym do uprawiania naukowej kosmologii i weryfikowania rozważań teoretycznych jest przyjęcie założenia, że obszar dostępny obserwacjom stanowi reprezentatywny fragment Wszechświata.

Widoczny rejon Wszechświata jest "zaludniony" galaktykami, które tworzą rozbudowane struktury o rozmiarach co najmniej kilkudziesięciu megaparseków (Mpc). Mimo wielkiej złożoności organizacji materii w skalach poniżej 100 Mpc, istnieją mocne podstawy obserwacyjne świadczące o tym, że niejednorodności rozmieszczenia materii zmniejszają się szybko w miarę przechodzenia do wielkich skal. To empiryczne stwierdzenie daje podstawę dla sformułowania wyjściowego postulatu kosmologii, tzw. zasady kopernikańskiej lub kosmologicznej, zgodnie z którą we Wszechświecie nie ma wyróżnionych miejsc albo, bardziej obrazowo: Wszechświat z każdego miejsca "wygląda" tak samo. Stwierdzenie o braku wyróżnionych punktów Wszechświata stanowi uogólnienie postulatu Mikołaja Kopernika o odebraniu Ziemi uprzywilejowanego, centralnego miejsca w Kosmosie. W oczywisty sposób zasada kopernikańska nie jest spełniona w małych skalach. Pozostaje wciąż kwestią otwartą, od jakich rozmiarów Wszechświat można traktować jako jednorodny. Obserwacje rozkładu galaktyk wydają się potwierdzać słuszność zasady kopernikańskiej w skalach powyżej paruset megaparseków. Silne ograniczenia z góry na fluktuacje w rozmieszczeniu materii w obszarach o rozmiarach powyżej 100-200 Mpc nakładają obserwacje rentgenowskiego promieniowania tła. Pomiary fluktuacji mikrofalowego promieniowania tła wskazują na istnienie niejednorodności o bardzo niewielkiej amplitudzie w skalach sięgających 1000 Mpc. Drugim założeniem z reguły przyjmowanym w kosmologii jest izotropia Wszechświata. Postulat o braku wyróżnionych kierunków we Wszechświecie jest zarówno naturalny, jak i uzasadniony na podstawie wyników obserwacji słabych galaktyk oraz niemal doskonałej izotropii mikrofalowego promieniowania tła.

Jednorodność Wszechświata postulowana w zasadzie kopernikańskiej nie przesądza o możliwości jego ewolucji w czasie. W połowie XX w. proponowano tzw. silną zasadę kopernikańską (kosmologiczną), zgodnie z którą Wszechświat z każdego miejsca i w dowolnym momencie wygląda jednakowo. Obecnie model nie podlegającego ewolucji Wszechświata został odrzucony, gdyż stoi w sprzeczności z wieloma obserwacjami.

Szczególne, choć mało precyzyjne ograniczenia na przeszłość ewolucyjną Wszechświata nakłada sformułowana przez Brandona Cartera i Roberta Dicke'ego zasada antropiczna, według której Wszechświat musi być taki, jaki jest, gdyż w innej sytuacji nie zaistniałyby warunki do powstania życia, a tym bardziej jego wyższych form obdarzonych inteligencją. Być może zasada antropiczna zostanie w przyszłości przyjęta jako ostateczne uzasadnienie dla takich, a nie innych wartości fundamentalnych stałych fizycznych, obecnie jednak nie można jej uznać za teorię naukową, wyjaśniającą problemy kosmologii.

Paradoksy kosmologiczne
Powszechnie przyjmuje się, że sformułowana przez Alberta Einsteina w 1915 r. ogólna teoria względności (OTW) w poprawny sposób opisuje zjawisko grawitacji. Współczesna kosmologia wykorzystuje OTW przy określaniu geometrycznych własności Wszechświata i wzajemnych związków czasoprzestrzeni z materią. Klasyczne pojęcia absolutnej przestrzeni i czasu oraz prawo powszechnej grawitacji Newtona stanowią dobre przybliżenie dla opisu ruchów materii w małych skalach i przy niewielkich prędkościach. Teoria newtonowska nie daje możliwości zbudowania spójnych globalnych modeli kosmologicznych, ale nadal stanowi dogodne narzędzie dla ilustracji pewnych ogólnych własności Wszechświata.

Przyjęcie silnej zasady kosmologicznej oraz klasycznych, galileuszowych i newtonowskich założeń odnośnie geometrii przestrzeni prowadzi do wniosków w oczywisty sposób sprzecznych z najprostszymi obserwacjami astronomicznymi. Rozumowanie przeprowadzone w I połowie XIX w. przez astronoma i lekarza niemieckiego Heinricha Olbersa, znane obecnie jako paradoks fotometryczny albo paradoks Olbersa, pozwala odrzucić najprostszy intuicyjnie model Wszechświata wiecznego, niezmiennego, stacjonarnego i nieskończonego. We Wszechświecie posiadającym takie atrybuty jasność powierzchniowa nieba jest równa średniej jasności powierzchniowej gwiazd. Wynika to stąd, że w każdym kierunku na linii widzenia w skończonej odległości wzrok obserwatora napotka na tarczę jednej z gwiazd. Ciemne tło nocnego nieba oznacza, że w rzeczywistym Wszechświecie prawdopodobieństwo trafienia na gwiazdę przy losowo wybranym kierunku patrzenia jest znikomo małe. Różnica między przewidywaniem wyprowadzonym przez Olbersa, a wyglądem nocnego nieba oznacza, że prawdziwy Wszechświat nie spełnia co najmniej jednego z założeń wyjściowych. Człowiek stojący pośrodku niewielkiej kępy drzew dostrzeże pomiędzy pniami teren leżący poza lasem. W przypadku rozległej puszczy cała linia horyzontu zostanie zasłonięta przez drzewa. Analogia między gwiazdami a pniami drzew nasuwa przypuszczenie, że w prawdziwym Wszechświecie drobny ułamek powierzchni sfery niebieskiej jest pokryty gwiazdami, pomiędzy którymi sięgamy wzrokiem w przestrzeń pozbawioną gwiazd. Nie oznacza to jednak, że nasza Galaktyka znajduje się w środku obszaru wypełnionego "lasem" galaktyk, poza którym znajduje się pusta przestrzeń. W rzeczywistości Wszechświat istnieje w formie podobnej do obecnejprzez skończony przedział czasu. Ciemne tło nieba wynika przede wszystkim (choć nie jedynie) z tego faktu. Kilkanaście miliardów lat temu materia we Wszechświecie nie była jeszcze skupiona w gwiazdach. Zatem obszary na tyle odległe, że światło biegło stamtąd do nas wiele miliardów lat, są ciemne i stwarzają wrażenie, jakby były wolne od materii. Poza skończonym czasem trwania, rzeczywisty Wszechświat różni się od założonego przez Olbersa również innymi własnościami; przede wszystkim rozszerza się, czyli nie jest stacjonarny, oraz ulega przemianom ewolucyjnym. Brak natomiast definitywnej odpowiedzi, czy przestrzeń spełnia postulaty geometrii euklidesowej oraz czy Wszechświat jest skończony.

>>>
Setki galaktyk (jasności najsłabszych sięgają 30 wielkości gwiazdowych) na obszarze nieba o rozmiarach 2' x 2' (tzw. Głębokie Pole Hubble'a). Prawdopodobnie niektóre słabe galaktyki są najbardziej odległymi, widocznymi obiektami, jakie istnieją we Wszechświecie. Przypuszcza się, że liczba galaktyk słabszych niż 30 wielkości gwiazdowych jest na tyle mała, że nie przyczynia się w istotny sposób do całkowitej jasności nieba nocnego, co wyjaśnia paradoks Olbersa. Fot. HST/NASA.

Do podobnych wniosków, jak w wypadku paradoksu Olbersa, prowadzi rozumowanie (tzw. paradoks Seeligera albo paradoks grawitacyjny) dotyczące siły grawitacyjnej wywieranej na dowolny element masy przez całą materię Wszechświata. Przyjmując te same założenia, jak w paradoksie Olbersa, mechanika newtonowska prowadzi do wniosku, że na każdy punkt materialny działa we wszystkich kierunkach nieskończona siła. W sensie matematycznym siła wypadkowa staje się nieokreślona, a potencjał grawitacyjny nieskończony.

Rozszerzanie się Wszechświata
Jednakowy przez tysiące lat wygląd gwiazdozbiorów wytworzył głęboko zakorzenione przekonanie, że Wszechświat nie podlega systematycznym zmianom i jako całość zachowuje w czasie niezmienną formę. Gdy Albert Einstein stwierdził, że równania stworzonej przez niego ogólnej teorii względności (OTW) nie przewidują możliwości istnienia Wszechświata stacjonarnego, uzupełnił je o dodatkowy składnik "kosmologiczny", dzięki któremu wśród rozwiązań zmiennych w czasie pojawiło się również rozwiązanie stacjonarne. Wkrótce potem (1928/29) Edwin Hubble odkrył, że wszystkie galaktyki poza Układem Lokalnym oddalają się, (uciekają) od naszej Galaktyki z prędkościami tym większymi, im dalej się od nas znajdują. To odkrycie, znane obecnie jako prawo Hubble'a, zostało potwierdzone ogromnym materiałem obserwacyjnym i stanowi jeden z podstawowych faktów astronomii pozagalaktycznej. Dla niezbyt odległych obiektów prędkość ucieczki galaktyk, v, zależy od odległości, r, w sposób liniowy:

v = H × r,

gdzie H - stała Hubble'a jest współczynnikiem proporcjonalności. Ścisła proporcjonalność między v i r pozwala uniknąć konfliktu z zasadą kopernikańską . W przypadku innej zależności niż liniowa, z faktu radialnej ucieczki galaktyk we wszystkich kierunkach należałoby wyprowadzić wniosek, że Droga Mleczna znajduje się w szczególnym miejscu - "w środku" Wszechświata. Ponieważ mamy do czynienia z prostą proporcjonalnością, Wszechświat rozszerza się równomiernie, nie zmieniając stosunków odległości, a jedynie skalę rozmiarów. Okoliczne galaktyki oddalając się od naszej Galaktyki, w tej samej proporcji oddalają się wzajemnie od siebie. Obserwator umieszczony w dowolnej galaktyce stwierdzi dokładnie to samo, co my: wszystkie galaktyki oddalają się z prędkością proporcjonalną do odległości.

Prędkość ucieczki obiektów pozagalaktycznych mierzy się, wykorzystując zjawisko Dopplera. Dla prędkości niewielkich w porównaniu z prędkością światła c zmiana długości fali jest proporcjonalna do prędkości v:

z = / _em = (_obs - _em) / _em = v / c,

_obs = _em × (1 + z),

v_obs = v_em / (1 + z),

gdzie oznacza długość fali, wskaźniki "em" i "obs" - odpowiednio wielkości emitowane i obserwowane. Względna zmiana długości fali z nosi nazwę przesunięcia widma. W przypadku wzajemnego oddalania się źródła promieniowania od obserwatora, _obs > _em - widmo ulega przesunięciu w kierunku fal długich, co w dziedzinie widzialnej oznacza przesunięcie ku czerwieni.

W wyniku efektu Dopplera przesunięciu w jednakowym stosunku ulega całe widmo promieniowania elektromagnetycznego. Pomiar tego przesunięcia może być jednak utrudniony, jeżeli w widmie brak wyraźnych linii (emisyjnych lub absorpcyjnych). Dla celów astronomii pozagalaktycznej praktycznie jedynie w dziedzinie optycznej i nadfiolecie obserwuje się dostatecznie silne linie, które umożliwiają pomiar przesunięcia. Promieniowanie radiowe, rentgenowskie i gamma obiektów pozagalaktycznych ma z reguły charakter nietermiczny i pozbawione jest linii widmowych. (Istotny wyjątek stanowi promieniowanie rentgenowskie gromad galaktyk, ale ze względu na małą zdolność rozdzielczą detektorów rentgenowskich pomiary przesunięcia ku czerwieni gromad w tym zakresie widma nie są jeszcze możliwe).

Znajomość przesunięcia widma pozwala określić odległość obiektu, jeżeli znana jest wartość stałej Hubble'a. Dla jej wyznaczenia wykorzystuje się zależność Hubble'a w stosunku do obiektów o znanej odległości: H = v / r. Mimo że sam pomiar prędkości v obarczony jest z reguły zaniedbywalnie małymi błędami, obserwowana prędkość na ogół nie jest równa dokładnie prędkości wynikającej z ogólnej ekspansji Wszechświata. Galaktyki oprócz prędkości ucieczki są bowiem obdarzone tzw. prędkościami swoistymi, wynikającymi z oddziaływań grawitacyjnych z innymi galaktykami. Na wypadkową prędkość galaktyki mają wpływ zarówno sąsiednie galaktyki, jak i masywne układy galaktyk (gromady i supergromady) znajdujące się w odpowiednio większych odległościach. Lokalne ruchy galaktyk nałożone na wielkoskalowe odchylenia od jednorodnej ekspansji (tzw. przepływu Hubble'a) tworzą złożone pole prędkości. Wielkości tych odchyleń są obecnie intensywnie badane w obszarze rozciągającym się do odległości kilkudziesięciu megaparseków (Mpc). Stwierdzono na przykład, że po odjęciu prędkości wynikających z ekspansji Hubble'a, Układ Lokalny porusza się w kierunku gromady Virgo z prędkością rzędu 200 km/s, a cała Supergromada Lokalna z prędkością przekraczająca 600 km/s w kierunku układu, zwanego Wielkim Atraktorem, w obszarze Hydry i Centaura. Jeszcze większymi prędkościami swoistymi są obdarzone galaktyki w bogatych gromadach galaktyk; typowe prędkości sięgają tam 1000 km/s. Tempo ekspansji wewnątrz układu obiektów może zostać spowolnione lub całkiem zatrzymane wskutek przyciągania grawitacyjnego między elementami układu. Uniwersalna ekspansja nie dotyczy układów związanych grawitacyjnie, takich jak poszczególne galaktyki i ich elementy składowe.

Zasadnicze trudności wyznaczania stałej Hubble'a wiążą się z pomiarem odległości galaktyk r. Wyznaczenia odległości nawet najbliższych sąsiadów Drogi Mlecznej są wciąż obarczone błędami rzędu 10%, a niepewności dla obiektów dalszych sięgają 20-30%. Pierwsze oszacowania stałej H na ponad 500 km/s/Mpc, dokonane jeszcze przez samego Hubble'a, opierały się na zaniżonych dziesięciokrotnie ocenach odległości wewnątrz Galaktyki. Nadal jednak wartość H znana jest z dokładnością niewiele lepszą niż czynnik 2. Obecnie przyjmuje się, że H mieści się w przedziale 50-100 km/s/Mpc, przy czym ostatnie pomiary faworyzują wartości 65-75 km/s/Mpc.

Błąd wyznaczenia stałej Hubble'a nie pozwala na dokładne określenie bezwzględnych odległości galaktyk. Jednakże związek między odległością a prędkością ucieczki określa względne położenia obiektów. Dzięki prawu Hubble'a można badać rozmieszczenie galaktyk w przestrzeni, konstruować "mapy Wszechświata" w jednej, wspólnej - choć niedokładnie znanej - skali.

Zależność liniowa między prędkością ucieczki a odległością podana przez Hubble'a przestaje obowiązywać, gdy prędkości stają się porównywalne z prędkością światła. Również samo pojęcie odległości wymaga doprecyzowania. Z jednej strony, należy ją zdefiniować w zakrzywionej przestrzeni, z drugiej - w wyniku oddalania się obiektów - odległość galaktyk o dużych prędkościach zmienia się znacząco w czasie zużytym przez promień światła na przebycie drogi od źródła do obserwatora. Dzięki jednorodnej ekspansji Wszechświata istnieje jednak skomplikowana, ale wzajemnie jednoznaczna zależność między odległością a prędkością oddalania. Dla obiektów poza Supergromadą Lokalną często jedyną informacją o odległości jest właśnie przesunięcie widma ku czerwieni z wynikające z prędkości ucieczki. W astronomii pozagalaktycznej ta miara odległości jest na ogół utożsamiana z samą odległością. Dla obiektów bardzo odległych podaje się wyłącznie wartość przesunięcia ku czerwieni, np. z = 4,90 dla jednego z bardziej oddalonych kwazarów w gwiazdozbiorze Psów Gończych.

>>>
Zależność przesunięcia widma ku czerwieni z od prędkości ucieczki galaktyki v i czasu, jaki potrzebowało światło wysłane przez oddalający się obiekt na dotarcie do Ziemi. Dla małych prędkości związek między z i v jest w przybliżeniu liniowy.

Zmiana długości fali (energii) fotonu może powstać nie tylko w wyniku zjawiska Dopplera. W kontekście astrofizycznym istotną rolę odgrywa tzw. przesunięcie grawitacyjne. Foton wyemitowany z obszaru o wysokim ujemnym potencjale grawitacyjnym (np. z powierzchni zwartego masywnego obiektu - białego karła lub gwiazdy neutronowej) część swej energii zużywa na pokonanie bariery potencjału. Przesunięcie grawitacyjne w tym wypadku - podobnie do efektu Dopplera, spowodowanego ucieczką galaktyk - następuje w stronę długich fal. Istnieją konkurencyjne teorie wiążące przesunięcie widma obiektów pozagalaktycznych ku czerwieni w całości lub częściowo z innymi zjawiskami fizycznymi niż prawo Hubble'a. Teorie te zakładają istnienie niekosmologicznych przesunięć ku czerwieni dla pewnych klas obiektów, najczęściej niektórych aktywnych jąder galaktyk . Istnienie przesunięć niekosmologicznych mogłyby potwierdzić obserwacje powiązanych ze sobą fizycznie obiektów, posiadających wyraźnie różne przesunięcia. Mimo ogromnego wysiłku wielu obserwatorów nie ma w tej chwili przekonujących dowodów, że takie obiekty istnieją.

Modele kosmologiczne
Podstawy fizyczne współczesnej kosmologii wyznacza ogólna teoria względności (OTW). Pozwala ona przy dodatkowych założeniach jednorodności i izotropii budować modele kosmologiczne wolne od paradoksów kosmologicznych i wyjaśniające wiele obserwowanych własności Wszechświata . Jednorodne i izotropowe modele kosmologiczne zbudował po raz pierwszy w oparciu o OTW Aleksander Friedman na początku lat dwudziestych naszego wieku. Niezależne rozważania zakończone zbliżonymi konkluzjami prowadzili w tym czasie również: Georges Lemaître, Howard P. Robertson i Arthur Walker.

Newtonowska mechanika i teoria grawitacji, które w granicy małych prędkości i słabych pól stanowią przybliżenie OTW, wyjaśniają niektóre cechy modeli relatywistycznych. Paradoks grawitacyjny uwidacznia niestosowalność teorii Newtona do całości Wszechświata. W skończonej skali jednak wnioski uzyskane na podstawie prawa powszechnej grawitacji są zgodne z przewidywaniami OTW. W modelu newtonowskim rozkład materii w prawdziwym Wszechświecie zostaje przybliżony jednorodną kulą o bardzo dużym promieniu R wypełnioną materią o stałej gęstości . Wartość R jest na tyle duża, że znajdujący się wewnątrz kuli potencjalny obserwator nie widzi jej brzegu (aby uniknąć paradoksu Seeligera , R pozostaje skończone). Zgodnie z prawem grawitacji Newtona na punkt materialny o masie m w odległości r od środka kuli działa siła przyciągania F_r pochodząca jedynie od masy zawartej wewnątrz kuli o tym promieniu (natomiast wpływu nie wywiera materia leżąca na zewnątrz promienia r):

gdzie M_r jest masą kuli o promieniu r, G - stałą grawitacji. Przyspieszenie, któremu poddana jest materia w odległości r od środka, pozwala wyznaczyć zależność prędkości v_r od odległości:

gdzie E jest wielkością stałą zależną od warunków początkowych, mającą sens całkowitej energii mechanicznej jednostki masy. Wyrażenia stojące po lewej stronie równania reprezentują, odpowiednio, energię kinetyczną i grawitacyjną energię potencjalną jednostki masy.

Przebieg zmian w czasie promienia warstwy kulistej r zależy od konkretnej wartości energii E. Dla przypadku zerowej energii E promień r jest potęgową funkcją czasu t: r = r₀ (t/t₀)^2/3, gdzie r₀ jest promieniem kuli w chwili t₀. Ewolucja promienia r dla E = 0 stanowi przypadek graniczny: dla E < 0 wzrost r zostanie zatrzymany i rozpocznie się proces kurczenia, który w skończonym czasie doprowadzi do zachowania osobliwego: r 0. Natomiast dla dodatniej energii całkowitej E > 0 szybkość ekspansji będzie początkowo maleć wskutek spowalniania przez grawitację układu. W miarę upływu czasu hamujący wpływ grawitacji będzie odgrywał coraz mniejszą rolę i w przyszłości rozszerzanie modelowego Wszechświata będzie asymptotycznie jednostajne.

Zmiana rozmiarów kuli w identyczny sposób wpływa na zmianę odległości między dwoma dowolnie wybranymi punktami wewnątrz kuli. W tym zakresie model naśladuje ekspansję rzeczywistego Wszechświata. Trzy przypadki otrzymane w ramach teorii newtonowskiej są również przewidziane przez OTW. Przypadek graniczny E = 0 w modelu newtonowskim i relatywistycznym są do siebie bardzo podobne. Ścisłe rozwiązanie OTW zakłada jedynie faktyczną nieskończoność Wszechświata. Pozostałe własności geometryczne pozostają niezmienione. Otrzymane rozwiązanie nie prowadzi do paradoksu Olbersa (fotometrycznego), gdyż Wszechświat friedmanowski jest niestacjonarny: obiekty oddalają się i wskutek efektu Dopplera zmniejsza się energia odbieranego od nich promieniowania.

Rozwiązania Friedmana odpowiadające E 0 zależą od czasu podobnie jak modele newtonowskie, odmienne są jednak ich własności geometryczne. Trójwymiarowa przestrzeń w modelach Friedmana jest zakrzywiona. Zgodnie z wyjściowym założeniem jednorodności i izotropii, krzywizna jest w każdym miejscu jednakowa i nie zależy od kierunku. Dla E < 0 rozwiązaniem Friedmana jest przestrzeń o dodatniej krzywiźnie będąca trójwymiarową powierzchnią kuli w przestrzeni czterowymiarowej (tej przestrzeni nie należy mylić z czterowymiarową czasoprzestrzenią). Wszechświat ma w tym wypadku skończone rozmiary i masę; rozwiązanie to nosi nazwę wszechświata zamkniętego. Promień krzywizny zmienia się w czasie w analogiczny sposób, jak odległości na jej powierzchni, tj. odległości między punktami w rzeczywistej przestrzeni. Rozwiązaniem dla E > 0 jest wszechświat otwarty o przestrzeni z krzywizną ujemną, której odpowiednikiem dwuwymiarowym jest powierzchnia siodłowa. Różna od zera krzywizna w obu wypadkach oznacza, że relacje geometryczne w tych przestrzeniach są odmienne niż zależności geometrii euklidesowej. W szczególności pole powierzchni i objętość kuli zależą od promienia w inny sposób niż w przestrzeni płaskiej. W konsekwencji tracą słuszność euklidesowe zależności wielkości fizycznych, np. w miarę oddalania się źródła światła, oświetlenie spada wolniej niż z kwadratem odległości w przestrzeni o dodatniej krzywiźnie, a szybciej - dla ujemnej krzywizny. Podobnie liczba równomiernie rozmieszczonych obiektów (np. galaktyk) obserwowanych w przestrzeni do odległości r zależy od odległości w sposób odmienny niż r³.

Stała Hubble'a w modelach Friedmana określa szybkość zmian promienia krzywizny R:

H = (dR /dt) / R,

gdzie dR /dt oznacza pochodną po czasie R. Płaski model można traktować jako model zakrzywiony, w którym promień krzywizny jest nieskończenie wielki, natomiast R(t) określa umownie skalę w chwili t; np. jeżeli w chwili obecnej (t₀) dwa punkty materialne są od siebie oddalone o r₀, to w dowolnej chwili t odległość ta wyniesie r(t) = R(t) r₀, gdzie R jest czynnikiem skali i zachodzi R(t₀) = 1. Wartość promienia krzywizny (czynnika skali) w chwili emisji promieniowania zależy od przesunięcia widma obserwowanego obiektu:

Szybkość ekspansji określona przez prawo Hubble'a wiąże się z gęstością materii . W płaskim modelu Friedmana masa zawarta w kuli o promieniu r jest równa iloczynowi objętości kuli przez gęstość materii: M_r = 4/3 r³ , co po podstawieniu do równania energii (przyjmując E=0) daje:

gdzie _kr jest tzw. gęstością krytyczną Wszechświata. Dla gęstości < _kr Wszechświat będzie rozszerzał się nieograniczenie, natomiast dla > _kr ekspansja zostanie zatrzymana i Wszechświat wejdzie w fazę kurczenia się - kolapsu.

>>>
Zależność czynnika skali R od czasu t w modelach Friedmana.

Niezależnie od obecnej gęstości przeszłość Wszechświata we wszystkich trzech modelach Friedmana wygląda podobnie. Obserwowane rozszerzanie się Wszechświata w połączeniu z teoretycznym przewidywaniem, że tempo tej ekspansji maleje w czasie, prowadzą do konkluzji, iż gęstość materii we Wszechświecie we wcześniejszych epokach kosmologicznych była większa niż obecnie. Proces rozszerzania się Wszechświata nie mógł zatem trwać wiecznie: w skończonym czasie w przeszłości odległość między jakimikolwiek dwoma elementami materii była dowolnie mała, a koncentracja materii - dowolnie wielka. Ewolucja Wszechświata w modelu Friedmana rozpoczyna się stanem osobliwym, którego nie potrafią opisać dotychczasowe teorie fizyczne. Moment początkowy i pierwsze chwile ekspansji określane są mianem Wielkiego Wybuchu. Czas t_o, jaki upłynął od Wielkiego Wybuchu, zależy od równania stanu materii. Z dobrym przybliżeniem można ten czas ocenić dla modelu płaskiego, przyjmując zależność r ~ t ^2/3. W tym wypadku

gdzie H₀ oznacza wartość stałej Hubble'a w chwili obecnej. Ekspansja Wszechświata otwartego przebiegała w przeszłości wolniej niż w modelu płaskim. A zatem odpowiednio więcej czasu upłynęło od Wielkiego Wybuchu. Obserwacje nie dają jednoznacznych rozstrzygnięć, który z modeli Friedmana najlepiej opisuje rzeczywisty Wszechświat. Gęstość materii zapewne nie przekracza gęstości krytycznej; może jednak być niższa nawet o rząd wielkości. Gdy << _kr , Wszechświat rozszerza się jednostajnie w ciągu niemal całego swego istnienia i t₀ >> 1 / H₀. Gdy przyjmiemy H₀ = 70 km/s/Mpc, czas życia Wszechświata mieści się w przedziale 9-14 miliardów lat.

Standardowy model Friedmana jest jednoznacznie określony przez dwa parametry, np. H₀ i ; stosuje się również inne - równoważne w sensie matematycznym - parametryzacje, najczęściej za pomocą H₀ i , gdzie = / _kr to tzw. parametr gęstości. Gęstość (lub ) określa szybkość spowalniania ekspansji, czyli kosmologicznego zmniejszania się H₀ wskutek przyciągania grawitacyjnego. W opisie geometrycznym modelu wygodnie jest posłużyć się parametrem deceleracji q₀, który w modelu standardowym równa się połowie i jednocześnie wiąże się z drugą pochodną po czasie czynnika skali R:

Model Friedmana w najogólniejszej postaci zawiera trzeci parametr swobodny, tzw. stałą kosmologiczną , która - wprowadzona do równań OTW przez Einsteina - znacznie rozszerza rodzinę rozwiązań, m.in. o przypadek stacjonarny. Równanie określające ewolucję czasową czynnika skali przyjmuje postać:

gdzie P jest ciśnieniem. W modelu z niezerową stałą kosmologiczną zachodzi zależność:

Testy kosmologiczne
Paradoksy fotometryczny i grawitacyjny pokazują, jakich własności Wszechświat nie posiada. Istnieje wiele rodzajów obserwacji, tzw. testów kosmologicznych, pozwalających - przynajmniej potencjalnie - określić wielkości charakteryzujące Wszechświat i jego ewolucję.

Wiek Wszechświata

Odwrotność stałej Hubble'a określa wiek Wszechświata - czas, jaki upłynął od Wielkiego Wybuchu. Okres ten nie może być krótszy od wieku najstarszych obiektów występujących w Kosmosie. Należą do nich gromady kuliste i niektóre białe karły. Niepewności ocen ich wieku, podobnie jak błędy wyznaczenia stałej Hubble'a są wciąż na tyle duże, że z jej pomiarów nie wynikają istotne ograniczenia na tempo ewolucji gwiazd. Natomiast wiek najstarszych gwiazd wyklucza duże, powyżej 80-100 km/s/Mpc wartości stałej Hubble'a. Ponieważ ostatnie pomiary H_o zdają się wskazywać na wartości poniżej tej granicy, oczekuje się wkrótce dobrego uzgodnienia wieku Wszechświata z wiekiem obiektów w nim występujących.

Diagram Hubble'a

Prawo Hubble'a, określające związek między odległością a prędkością ekspansji Wszechświata, stanowi punkt wyjścia do wyznaczania jego geometrycznych własności. Oświetlenie (w terminologii astronomicznej - jasność obserwowana albo strumień) f produkowane przez źródło promieniowania, natężenie źródła światła (jasność absolutna) L i odległość r w płaskiej przestrzeni są związane zależnością: f = L / r², co wyrażone za pomocą widomych i absolutnych wielkości gwiazdowych m i M przyjmuje postać m = M + 5log r + C, gdzie stała C zależy od wyboru jednostek (C = - 5 i 25 dla odległości wyrażonej, odpowiednio, w pc i Mpc). W rozszerzającym się Wszechświecie zależność ta ulega modyfikacji, wynikającej z faktu oddalania się źródła od obserwatora oraz - ewentualnie - nieeuklidesowej geometrii przestrzeni. Dla odległości niewielkich w porównaniu z promieniem krzywizny r = c z / H, co pozwala wyrazić zależność między m i M za pomocą przesunięcia widma z ku czerwieni:

m = M + 5 log z + 5 log R_H + C,

gdzie R_H = c / H jest promieniem Hubble'a. R_H określa w przybliżeniu rozmiary obszaru dostępnego obserwacjom; np. dla H = 100 km/s/Mpc, R_H = 3000 Mpc. Dla dużych odległości i prędkości ucieczki przesunięcie widma obserwowanego w stosunku do emitowanego, spowodowane efektem Dopplera, zmienia widomą wielkość gwiazdową. Zmiana ta zależy od kształtu widma obiektu. Trudność ta się nie pojawia, gdy w zależności m ~ M występują wielkości określające integralną jasność obiektu w całym zakresie widma (tzw. wielkości bolometryczne).

W modelach Friedmana wprowadza się funkcję przesunięcia widma z, tzw. odległość jasnościową D_L, która zachowuje zależność m ~ M w postaci analogicznej do relacji w przestrzeni euklidesowej:

m_bol = M_bol + 5 log D_L + C.

Odległość jasnościowa określa, w jaki sposób oświetlenie zależy od przesunięcia widma.
W modelu standardowym D_L jest sparametryzowana przez H₀ i q₀ (w ogólności zależy również od ):

W granicy małych odległości (z 0) D_L c z / H₀. Obserwacyjne wyznaczenie zależności D_L(z) dokonuje się, konstruując tzw. diagram Hubble'a, tj. rozkład na płaszczyźnie z ~ m obiektów o znanej jasności absolutnej M. Zasadnicza trudność tej analizy wiąże się z błędami wyznaczeń wielkości absolutnych M. Jasności galaktyk, a tym bardziej kwazarów, obejmują szeroki zakres jasności absolutnych, co praktycznie wyklucza użycie dowolnej próbki tych obiektów do testowania modelu kosmologicznego na podstawie diagramu Hubble'a.

>>>
Przebieg zależności prędkości ucieczki (wyrażonej poprzez przesunięcie ku czerwieni) od widomej wielkości gwiazdowej najjaśniejszych galaktyk w gromadach (każdy punkt reprezentuje jedną gromadę) dla trzech różnych wartości parametru deceleracji.

Pewne nadzieje można wiązać ze specjalnie wyselekcjonowanymi galaktykami, których absolutne wielkości gwiazdowe wykazują mały rozrzut. Taką klasę tworzą np. najjaśniejsze galaktyki w bogatych gromadach. Interpretacja dotychczasowych wyników napotyka jednak na trudności związane z ewolucją odległych obiektów. Kosmologiczne efekty geometryczne stają się istotne przy dużych przesunięciach, co wymusza konieczność porównywania obiektów odległych z bliskimi. Ponieważ różnią się one między sobą stopniem zaawansowania ewolucyjnego, oczekuje się, że również ich jasności absolutne będą inne. Współczesne modele ewolucji galaktyk są obarczone dużą niepewnością i nie nakładają istotnych ograniczeń na geometrię Wszechświata. Przeciwnie, bardziej uprawnione jest badanie ewolucji galaktyk przy wykorzystaniu diagramu Hubble'a z założonymi niezależnie parametrami H₀ i q₀.

Zależność - z

Z powodu zakrzywienia przestrzeni rozmiary kątowe ciał niebieskich w sposób specyficzny zależą od odległości. W płaskiej przestrzeni średnica kątowa obiektu jest odwrotnie proporcjonalna do jego odległości r: = l / r, gdzie l są rozmiarami liniowymi. Analogicznie do odległości jasnościowej wprowadza się odległość rozmiarów kątowych D_A - funkcję przesunięcia widma, która spełnia relację:
= l / D_A. Wielkości D_L i D_A są ze sobą związane:
D_A = D_L / (1 + z)². We rozszerzającym się Wszechświecie
(dla q₀ > 0) rozmiary kątowe coraz dalej położonych obiektów (o tych samych rozmiarach liniowych) początkowo maleją podobnie, jak to ma miejsce w "zwykłej" przestrzeni; jednak przy dalszym zwiększaniu odległości osiągają minimum i następnie zaczynają wzrastać. Zależność - z umożliwia obserwacyjne wyznaczenie D_A, gdy znane są rozmiary liniowe obiektu. W przeszłości stosowano test rozmiarów kątowych m.in. do podwójnych radioźródeł, sądzono bowiem, że ich rozmiary są cechą charakterystyczną obiektu i nie zależą od epoki kosmologicznej. Obecnie przypuszcza się jednak, że radioźródła te nie stanowią dobrego wzorca długości, gdyż w przeszłości były obiektami mniejszymi niż źródła bliskie nas.

Zliczenia obiektów

>>>
Zależność rozmiarów kątowych centralnych obszarów gromad galaktyk od przesunięcia ku czerwieni z. Linie przedstawiają zależność -z dla H = 70 km/s/Mpc i trzech wartości parametru deceleracji.

Skuteczną metodę badania efektów kosmologicznych stanowią tzw. zliczenia obiektów w zależności od ich widomej jasności. Równomiernie rozmieszczone w przestrzeni obiekty (np. galaktyki, radioźródła itp.) tworzą na sferze niebieskiej dla dowolnego obserwatora w euklidesowym Wszechświecie wzór punktów o ustalonym rozkładzie jasności. Zasadnicze cechy tego rozkładu nie zależą od odległości i jasności absolutnych obiektów. Znając oświetlenie f emitowane przez każdy obiekt, można w wybranym obszarze nieba dokonać zliczeń, czyli wyznaczyć zależność N(>f) określoną jako liczba obiektów jaśniejszych niż f. W płaskim, statycznym i nieewoluującym Wszechświecie funkcja zliczeń ma kształt ściśle potęgowy: N(>f) = N₀ x f ^-3/2 (tzw. prawo 3/2). Odchylenia od tej zależności mogą być spowodowane różnymi czynnikami. W wielu jednak sytuacjach obserwacje w pewnym zakresie strumieni f są zgodne z prawem 3/2, co świadczy o tym, że w badanym obszarze przestrzeni obiekty są rozmieszczone równomiernie (pomijając fluktuacje statystyczne) i nie wykazują zauważalnych efektów ewolucyjnych.

Gdy obserwacje obejmują dostatecznie duże odległości, dają zawsze o sobie znać odchylenia spowodowane ekspansją Wszechświata. Ucieczka obiektów zmienia kształt zależności N(>f) na mniej stromy (wykładnik potęgi przekracza -3/2). Sytuacja taka ma miejsce np. w zliczeniach galaktyk: dla galaktyk jaśniejszych niż 15-16 wielkość gwiazdowa zliczenia z dobrym przybliżeniem wykazują nachylenie -1,5, by dla galaktyk o jasności 18^m spaść do około -1,2. Mimo że w tym zakresie jasności widomych typowe odległości galaktyk są wciąż niewielkie w porównaniu z promieniem Hubble'a (przesunięcia widma z nie przekraczają 0,1), wpływ ekspansji Wszechświata jest ł